Question

已知数列{a_n}中，，点（n，，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直线y=x上．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直线y=x上可得n=2a_n+1-a_n，结合，依次代入n=2，n=3，n=4中即可得到a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由已知中b_n=a_n+1-a_n-1，我们可以分别计算出b_n及b_n+1的表达式，然后代入中，易判断为定值，结合，求出b₁的值，即可判断出数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）由（II）的结论我们易给出数列{b_n}的通项公式，然后结合b_n=a_n+1-a_n-1，利用累加法即可求出数列{a_n}的通项公式．
解答：解：（Ⅰ）由题意，．（2分）
同理，（3分）
（Ⅱ）因为2a_n+1-a_n=n，
所以，（5分）（7分）
又，所以数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（10分）
∴a_n+1-a_n-1=∴a_n+1-a_n=+1（11分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）（12分）
=-+n-1
=（14分）
点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，及等比关系的确定，判断一个数列为等比数列就是根据定义判定判断为定值．