Question

6．已知在数列{a_n}中，a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{-{a}_{n}+3，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+…a_n．若S_n=2015，则n=1343．

Answer 1

分析 a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{-{a}_{n}+3，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$（n∈N^*），可得a₂=-a₁+3=-a+3．分类讨论：当a∈（0，1）时，可得a_n+4=a_n．当a∈[1，2]时，可得：a_n+2=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{-{a}_{n}+3，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$（n∈N^*），
∴a₂=-a₁+3=-a+3．
①当a∈（0，1）时，3-a∈（2，3），∴a₃=a₂-2=1-a∈（0，1），∴a₄=-a₃+3=a+2∈（2，3），∴a₅=a₄-2=a∈（0，1），…，∴a_n+4=a_n．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=a+（-a+3）+（1-a）+（a+2）=6．
∵S_n=2015=335×6+5，∴a₁=a≠5，a₁+a₂=3≠5，a₁+a₂+a₃=4-a≠5，舍去．
②当a∈[1，2]时，3-a∈[1，2]，∴a₃=-a₂+3=a∈[1，2]，∴a_n+2=a_n．
∵a₁+a₂=3，
∴S_n=2015=671×3+2，a₁=a=2时，n=671×2+1=1343．
故答案为：1343．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．