Question

【题目】已知a＜0，函数f（x）=acosx+ + ，其中x∈[﹣ ， ]．
（1）设t= + ，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若对区间[﹣ ， ]内的任意x1 ， x2 ， 总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

又∵ ，∴cosx≥0，从而t2=2+2cosx，∴t2∈[2，4]．

又∵t＞0，∴ ，∵ ，∴ ，

（2）解：求函数f（x）的最大值即求 ， 的最大值．

，对称轴为 ．

当 ，即 时， ；

当 ，即 时， ；

当 ，即 时，gmax（t）=g（2）=a+2；

综上可得，当 时，f（x）的最大值是 ；当 时，f（x）的最大值是 ；

当 时，f（x）的最大值是a+2

（3）解：要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1对区间 内的任意x1，x2恒成立，

只需fmax（x）﹣fmin（x）≤1．也就是要求gmax（t）﹣gmin（t）≤1对 成立

∵当 ，即 时，gmin（t）=g（2）=a+2；

且当 时，

结合问题（2）需分四种情况讨论：

① 时， 成立，∴ ；

② 时， ，即 ，

注意到函数 在 上单调递减，故p（a）＞p（ ）=﹣ ，

于是 成立，∴ ；

③ 时 ，即 ，

注意到函数 在 上单调递增，

故 ，于是 成立，∴ ；

④ 时， ，即 ，∴ ；

综上，实数a的取值范围是

【解析】（1）令 + =t，换元可得；（2）问题转化为 ， 的最大值，由二次函数分类讨论可得；（3）问题转化为gmax（t）﹣gmin（t）≤1对 成立，分类讨论可得．
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．