Question

已知，对：和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；：函数有两个零点，求使“且”为真命题的实数的取值范围。

Answer 1

试题分析：利用二次方程的韦达定理求出|x₁-x₂|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；P且Q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，∴|x₁-x₂|=
．当a∈[1，2]时，的最小值为3．要使|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只须|m-5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+=0的判别式△=4m²-12（m+）=4m²-12m-16＞0，得m＜-1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即2≤m≤8，m＜-1或m＞4，解得实数m的取值范围是（4，8]．
点评：本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系．