题目内容
如图，在空间四边形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若点A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证：EF⊥PB.
解析:欲证EF⊥PB,由已知AE⊥PB,可考虑从确定平面PBC的垂线入手,用三垂线定理或逆定理进行证明. 证明:∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC. 又∵AC⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC. 而AF ∴BC⊥AF. 又∵F是点A在PC上的射影, ∴AF⊥PC. ∴AF⊥平面PBC. ∴AE在面PBC的射影为EF. 又∵E为A在PB上的射影, ∴AE⊥PB. 由三垂线定理的逆定理知EF⊥PB. 点评:(1)应用三垂线定理或逆定理证明线线垂直,关键是确定好平面的垂线.如本题证明AF⊥面PBC是关键. (2)本题也可以通过证明PB⊥面AEF,来证明PB⊥EF.
平面PAC,
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＝
＝
＝
＝k．
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，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BD∥PQ．