Question

（1）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，证明：数列{S_n}不是等比数列．
（2）已知f（x）=a^x+（a＞1），证明：方程f（x）=0没有负根．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，利用等比数列的求和公式可求q，结合等比数列的公比性质可判断，推出矛盾；
（2）假设f（x）=0 有负根 x，即 f（x）=0得到=，再由a＞1和x＜0，结合指数函数的单调性判断出，列出不等式组，由二次不等式和分式不等式的解法求x的范围，与x＜0矛盾．
解答：证明：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
∵a₁≠0，∴（1+q）²=1+q+q²，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
∴数列{S_n}不是等比数列．
（2）假设f（x）=0 有负根 x，且 x≠-1，
即 f（x）=0，则=，
∵a＞1，x＜0，∴0＜＜1，
∴0＜＜1，即，
∴，解得x＜2，
这与x＜0矛盾，假设不成立，
故方程f（x）=0没有负根．
点评：本题考查了用反证法证明数学命题，二次不等式和分式不等式的解法，以及指数函数的有界性，解题的关键和难点是根据条件推出矛盾．