Question

（1）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，证明：数列{S_n}不是等比数列．
（2）已知f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1），证明：方程f（x）=0没有负根．

Answer 1

分析：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，利用等比数列的求和公式可求q，结合等比数列的公比性质可判断，推出矛盾；
（2）假设f（x）=0 有负根 x₀，即 f（x₀）=0得到ax0=-

x0-2

x0+1

，再由a＞1和x₀＜0，结合指数函数的单调性判断出ax0，列出不等式组，由二次不等式和分式不等式的解法求x₀的范围，与x₀＜0矛盾．

解答：证明：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
∵a₁≠0，∴（1+q）²=1+q+q²，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
∴数列{S_n}不是等比数列．
（2）假设f（x）=0 有负根 x₀，且 x₀≠-1，
即 f（x₀）=0，则ax0=-

x0-2

x0+1

，
∵a＞1，x₀＜0，∴0＜ax0＜1，
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，即

(x0-2)(x0+1)＜0 - x0-2 x0+1 ＜1

，
∴

(x0-2)(x0+1)＜0 (2x0-1)(x0+1)＞0

，解得

1

2

＜x₀＜2，
这与x₀＜0矛盾，假设不成立，
故方程f（x）=0没有负根．

点评：本题考查了用反证法证明数学命题，二次不等式和分式不等式的解法，以及指数函数的有界性，解题的关键和难点是根据条件推出矛盾．