Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为

（1，

2

]

．

Answer 1

分析：这里给出否定形式，直接思考比较困难，按照正难则反，考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可．

解答：解：按照正难则反，考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可，所以只要渐近线y=

b

a

x的斜率大于1，
所以

b

a

＞1，所以离心率e＞

2

，
∴其在大于1的补集为（1，

2

]，
故答案为：（1，

2

]

点评：该题通过否定形式考查反证法的思想，又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质，是中档题