Question

已知椭圆ax²+y²=4与

x2

12

+

y2

9

=1的焦距相等，则a=

4

7

或4

．

Answer 1

分析：先将椭圆C₁：

x2

12

+

y2

9

=1标准方程，得到它的焦距2c，再将椭圆C₂：ax²+y²=4化成标准方程，结合两个椭圆的焦距相等，所以椭圆C₂的半焦距也是c，最后分焦点在x轴和y轴两种情况加以讨论，列出将于a的方程，再解之即可求出参数a的值．

解答：解：将椭圆C₁：

x2

12

+

y2

9

=1标准方程
所以椭圆C₁的半焦距为c=

12-9

=

3

，焦距为2c=2

3

再将椭圆C₂：ax²+y²=4化成标准方程：

x2

4 a

+

y2

4

=1，
两个椭圆的焦距相等，所以椭圆C₂的半焦距也是

3

，
接下来分两种情况讨论：
（1）当焦点在x轴上时，c=

4 a -4

=

3

，解之得a=

4

7

；
（2）当焦点在y轴上时，c=

4- 4 a

=

3

，解之得a=4
综上所述，得a的值为

4

7

或4．
故答案为：

4

7

或4．

点评：本题在两个椭圆的焦距相等的情况下，求参数a的值，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题．