Question

已知函数．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若函数在上为减函数，求的取值范围．

Answer 1

（1）当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数，（2）.

解析试题分析：（1）研究函数奇偶性，首先研究定义域，，在定义域前提下，研究相等或相反关系. 若，则，，，若，，，,（2）利用函数单调性定义研究函数单调性. 因函数在上为减函数，故对任意的，都有，即恒成立，恒成立，因为，所以.
解：（1）   （1分）
若为偶函数，则对任意的，都有，
即，，对任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即 ∴当时，是偶函数。   （4分）
若为奇函数，则对任意的，都有，
即，对任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即∴当时，是奇函数。（6分）
∴当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数。   （7分）
（2）因函数在上为减函数，故对任意的，都有，   （2分）
即恒成立。（4分）
由，知恒成立，即恒成立。
由于当时   （6分）
∴   （7分）
考点：函数奇偶性与单调性