题目内容

设f（x）= $数学公式$ x³+ $数学公式$ ax²+2bx+c，若当x∈（0，1]时，f（x）取得极大值，x∈（1，2]时，f（x）取得极小值，则 $数学公式$ 的取值范围是________．

（1，4]
分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
解答：

解：∵f（x）= $\text{[math]}$
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即 $\text{[math]}$ ，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图， $\text{[math]}$ 表示点A（1，2）与可行域内的点B连线的斜率，
当B（x，y）=M（-1，0）时， $\text{[math]}$ 最大，最大为1；
当B（x，y）=N（-3，1）时， $\text{[math]}$ 最小，最小为 $\text{[math]}$ ；
所以 $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ，1）? $\text{[math]}$ （1，4]．
故答案为（1，4]．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．

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