Question

设f（x）=x³（x∈R），若0≤θ＜

π

2

时，f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，2）

B．（-∞，0）

C．（-∞，1）

D．（-∞，2）

Answer 1

分析：利用函数f（x）=x³（x∈R）的奇偶性单调性把不等式f（m•sinθ）+f（2-m）＞0转化为m•sinθ＞m-2，进一步分离参数转化为函数的最值问题解决．

解答：解：易知函数f（x）=x³为R上的奇函数，且单调递增，
f（m•sinθ）+f（2-m）＞0可化为f（m•sinθ）＞-f（2-m）．
因为f（x）为奇函数，所以f（m•sinθ）＞f（m-2），又f（x）单调递增，所以msinθ＞m-2，m＜

2

1-sinθ

．
则0≤θ＜

π

2

时f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，等价于当0≤θ＜

π

2

时m＜

2

1-sinθ

恒成立，
当0≤θ＜

π

2

时，

2

1-sinθ

≥2，所以m＜2．
故选D．

点评：本题考查了函数的奇偶性单调性、不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题往往转化为最值问题进行解决．