Question

设f（x）=x³-

x2

2

-2x+a，
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值的和为5，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，解出函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得出原函数的单调区间；
（2）由（1）求出的函数的单调区间，分析函数在区间[-1，2]上的单调性，从而求出函数在区间[-1，2]上的极值进而得到函数在区间[-1，2]上的最值，把求出的最值求和值为5，即可求得a的值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）…（2分）
令f′（x）=0，得x=-

2

3

或x=1
当x＜-

2

3

或x＞1时，f′（x）＞0； 当-

2

3

＜x＜1时，f′（x）＜0…（4分）
所以，函数f（x）的单调递增区间是(-∞，-

2

3

]，[1，+∞）；…（6分）
函数f（x）的单调递减区间是[-

2

3

，1]…（7分）
（2）由（1）知，f（x）在区间[-1，2]上的极大值为f(-

2

3

)=

22

27

+a，
极小值为f(1)=-

3

2

+a，…（9分）
而f(-1)=

1

2

+a，f（2）=2+a
所以，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=2+a，最小值为f(1)=-

3

2

+a，…（12分）
由题意得，(2+a)+(-

3

2

+a)=5，∴a=

9

4

…（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值的方法，
求函数在闭区间上的最值，应比较极值与端点值．此题是中档题．