Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．

（1）证明：EF∥平面PCD；

（2）求证：面PBD⊥面PAC；

（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解（3）

【解析】

（1）作中点，中点，连接，通过求证四边形为平行四边形进而求证；

（2）可结合正方形性质和线面垂直性质设法证明，进而求证；

（3）连接，可证即为PD与平面PAC所成角的大小，通过几何关系即可求解；

（1）如图，作中点，中点，连接，

分别为中点，且，同理且，又底面为正方形，，

，为平行四边形，，又平面，

平面，平面

（2）连接，底面为正方形，，又 PA⊥底面ABCD，平面，，，平面，又因平面，平面PBD⊥平面PAC；

（3）连接，由（2）可知，平面，也即平面，则即为PD与平面PAC所成角的大小，设底面正方形边长为，

则，，所以