Question

【题目】已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.

当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，

内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，

由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，

设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：

设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，

连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，

则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，

可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，

由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，

所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2

=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，

而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，

由角平分线的性质可得，所以可得OM，

所以可得MN=ON﹣OM，

所以ME=OE﹣OM=x0，

所以，即INPEy0，

（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），

所以整理为：，

故答案为：.