Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，且满足，
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，由此能证明数列是等差数列．
（Ⅱ）由是等差数列，知=，故，所以，由此利用错位相减法能求出．
解答：（Ⅰ）证明：∵，
∴，（3分）
∴数列是公差的等差数列．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是等差数列，
∴=，
∴，（8分）
∴，①
（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2×-（2n+1）•3ⁿ
=3+3ⁿ-3-（2n+1）•3ⁿ
=-2n•3ⁿ，
∴．（12分）
点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和错位相减法的合理运用．