Question

【题目】已知函数，.

（1）若，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）若，求在上的最小值；

（3）若，且有三个不同实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是奇函数；（2）；（3）.

【解析】

（1）由a＝0，可得f（x）为奇函数，运用定义即可得到结论；

（2）求得f（x）的解析式，讨论a＜1时，当1≤a≤3时，当3＜a≤4时，当a＞4时，结合单调性，可得最小值；

（3）由题意可得f（x）不单调，求得f（x）的分段函数，讨论当x≥a递增，且a≥0，x＜a不单调，以及当x＜a递增，且a＜0，x≥a不单调，可得的范围，即可得到所求取值范围．

解：（1）a＝0，可得f（x）＝x|x|+bx为奇函数，

由定义域为R，f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣bx＝﹣（x|x|+bx）＝﹣f（x），

则f（x）为奇函数；

（2）b＝0，可得f（x）＝x|x﹣a|

，

由于1≤x≤3，

当a＜1时，可得f（x）＝x2﹣ax在[1，3]递增，

可得f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a；

当a＞3时，f（x）＝ax﹣x2在[1，]递增，（，3]递减，

由f（1）﹣f（3）═a﹣1﹣（3a﹣9）＝8﹣2a，

可得a＞4时，f（1）＜f（3），即为f（1）取得最小值a﹣1；

当3＜a≤4时，f（1）≥f（3），可得f（3）取得最小值3a﹣9；

当1≤a≤3时，由f（x）≥0，可得x＝a时，取得最小值0，

综上可得，a＜1时，f（x）的最小值为1﹣a；

当1≤a≤3时，f（x）的最小值为0；

当3＜a≤4时，f（x）的最小值为3a﹣9；

当a＞4时，f（x）的最小值为a﹣1；

（3）b＞0，且f（x）有三个不同实根，

则f（x）不单调，

且f（x），

当x≥a递增，且a≥0，x＜a不单调，

可得a，成立，又a，即a＞b；

即ab，

即3ab＜a2+b2＜6ab，

则的取值范围是（，）；

当x＜a递增，且a＜0，x≥a不单调，

可得a即a＜﹣b，又a，即a≤b；

即有ab，不成立．

综上可得的取值范围是（，）．