Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，
（1）求a，b，c的值．
（2）若关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求函数的解析式，只需找到关于a，b，c的三个方程即可，因为函数f（x）在x=-2时取得极值，所以当x=-2时，导数等于0，因为函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．所以当x=1时，导数等于-3，原函数值等于0，这样就得到关于a，b，c的三个方程，解出a，b，c即可．
（2）数形结合：关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，等价于函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，利用导数求出f（x）的极大值、极小值，则m介于两者之间；

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
∴f′（1）=-3，f（1）=0，即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞

4

3

，由f′（x）＜0得，-2＜x＜

4

3

，
所以f（x）在（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）上递增，在（-2，

4

3

）上递减，
所以当x=-2时f（x）取得极大值f（-2）=18，当x=

4

3

时f（x）取得极小值f（

4

3

）=-

62

27

，
因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，
所以-

62

27

＜m＜18，即为m的取值范围．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数在某点取得极值的充要条件为该点处导数为0，且两侧异号；方程根的个数问题往往利用数形结合思想转化为函数的图象交点个数．