Question

在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与C₁D₁的中点．
（1）求证：四边形A₁ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A₁B₁C；
（3）求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中点G，连接C₁G、GE．要证四边形A₁ECF是菱形，只需证明A₁E=A₁F=CE=CF即可．
（2）要证EF⊥平面A₁B₁C，只需证明直线EF垂直平面A₁B₁C内的两条相交直线A₁C、B₁C即可；
（3）说明∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

解答：（1）证明：取A₁B₁的中点G，连接C₁G、GE．
∵A₁G∥FC₁且A₁G=FC₁，∴A₁GC₁F是平行四边形．
∴A₁F∥C₁G．同理C₁G∥CE．∴A₁F∥CE．
由勾股定理算得A₁E=A₁F=CE=CF=

5

2

a，∴四边形A₁ECF是菱形．
（2）证明：连接C₁B，∵E、F分别为AB与C₁D₁的中点，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB为平行四边形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
（3）解：由（2）知，EF⊥平面A₁B₁C，又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=

B1C

A1B1

=

2

．
∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．