题目内容

甲、乙、丙、丁四个人进行传球练习，每次球从一个人的手中传入其余三个人中的任意一个人的手中．如果由甲开始作第1次传球，经过n次传球后，球仍在甲手中的所有不同的传球种数共有a_n种．
（如，第一次传球模型分析得a₁=0．）
（1）求 a₂，a₃的值；
（2）写出 a_n+1与 a_n的关系式（不必证明），并求 a_n=f（n）的解析式；
（3）求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）可画出示意图：

可得经过两次传球回到甲手中的所有不同种数为3；经过3次传球回到甲手中的所有不同种数为6．
因此可得：得 a₂=3，a₃=6．
（2）依题意有 a₁=0，且 a_n+1+ $\text{[math]}$ （n=1，2，3，…）．
将 a_n+1+ $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ ，
从而数列 { $\text{[math]}$ }是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为-1的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ （n=1，2，3，…）．
（3）①当n是偶数时，
$\text{[math]}$ ，为关于n的单调递减函数
∴当n是偶数时， $\text{[math]}$ 随n的增大而减小，从而，当n是偶数时， $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．
②当n是奇数时，
$\text{[math]}$ ，为关于n的单调增减函数
∴当n是奇数时， $\text{[math]}$ 随n的增大而增大，且 $\text{[math]}$ ．
综上， $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过画图，作出符合题意的示意图，加以总结即可得到 a₂，a₃的值；
（2）计算前几项，可发现规律：a_n+1+ $\text{[math]}$ （n=1，2，3，…）．利用待定系数法，得到数列 { $\text{[math]}$ }是首项为- $\text{[math]}$ ，公比为-1的等比数列．最后借助于等比数列的通项公式，即可算出 a_n=f（n）的解析式；
（3）分n为偶数和n为奇数两种情况，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性并结合不等式的性质进行推理，即可得到当n=2时， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的最大值．
点评：本题考查了函数的单调性、指数函数的单调性、函数模型（指数函数）的应用、等比数列的概念、等比数列的通项公式，以及用等比数列知识解决相应的问题等知识点，属于中档题．