Question

已知数列{a_n} 中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=+++…+，求b_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），分别令n=1，n=2，能够得到a₂，a₃．再由迭代法求出，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，由此利用累加法能够求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）借助裂项求和法能够推导出=．构造函数f（x）=2x+（x≥1），得到f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，由此能够求出b_n的最大值．
解答：解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a₂=6，a₃=12．…（2分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1+a_n-2）+（a_n-a_n-1）
=2[1+2+3+…（n-1）+n]
=2×=n（n+1）．…（5分）
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，…（6分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）．…（7分）
（2）
=+…+
=+…+

=
=
=．…（10分）
令f（x）=2x+（x≥1），
则，当x≥1时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3．…（13分）
即当n=1时，（b_n）_max=．…（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的项的最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法和构造法的合理运用．