Question

6．解方程：ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+3x=0．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x，利用函数的单调性奇偶性的性质进行求解即可．

解答 解：构造函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x，
则方程ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+3x=0．等价为ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+2x=0．
即f（x）+f（2x）=0，
∵函数f（x）为奇函数，且在R上为增函数，
∴f（2x）=-f（x）=f（-x），
则2x=-x，解得x=0．
即方程的解为x=0．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．