Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x²+y²=1．
（I）求椭圆C的方程；
（II）圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于不同的两点A、B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的离心率即椭圆的短轴长，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面积的最大值．
解答：解：（I）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x²+y²=1，
∴，b=1
∴a²=b²+c²
∴c=1，a=，
∴椭圆C的方程为；
（II）斜率存在时，设直线l：y=kx+b是圆的一条切线，则，∴|b|=
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l方程代入椭圆方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|AB|==
令t=4k⁴+4k²+1，则t＞0，|AB|==＜
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为x=1，则y=±
∴|AB|=
∴|AB|_max=
∵
∴△AOB面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．