已知圆的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.(1)求证:a取不为1的实数时.上述圆恒过定点,(2)求与圆相切的直线方程,(3)求圆心的轨迹方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知圆的方程是x²+y²-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.

（1）求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；

（2）求与圆相切的直线方程；

（3）求圆心的轨迹方程.

试题答案

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解：（1）将方程x²+y²-2ax+2(a-2)y+2=0整理得

x²+y²-4y+2-a(2x-2y)=0,

令解之得∴定点为（1，1）.

（2）易得已知圆的圆心坐标为(a,2-a)，半径为|a-1|.

设所求切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0.

则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a-1|恒成立，

整理,得2(1+k²)a²-4(1+k²)a+2(1+k²)=(k+1)²a²+2(b-2)(k+1)a+(b-2)²恒成立.

比较系数可得解之得k=1,b=0.2(1+k²)=(b-2)²,

所以，所求的切线方程是y=x.

（3）圆心坐标为（a,2-a）,又设圆心坐标为（x,y）,则有消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程.

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