Question

12．某地本年度旅游业收人估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业．预计今后旅游业的收人每年会比上一年增加$\frac{1}{4}$．
（1）求n年内旅游业的总收人；
（2）试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元．

Answer 1

分析 （1）根据题意，得出今后每年的旅游业收人组成等比数列，求出前n项和即可；
（2）令前n项和S_n≥8000，求出满足条件的n值即可．

解答 解：（1）根据题意，得；
今后每年的旅游业收人组成等比数列，
且首项为a₁=400，公比q=$\frac{5}{4}$，
∴n年内旅游业的总收人为
S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$
=$\frac{400（1{-（\frac{5}{4}）}^{n}）}{1-\frac{5}{4}}$
=1600[${（\frac{5}{4}）}^{n}$-1]；
（2）令S_n≥8000，
即1600[${（\frac{5}{4}）}^{n}$-1]≥8000，
即${（\frac{5}{4}）}^{n}$≥6，
∴n≥${log}_{\frac{5}{4}}$6=$\frac{lg6}{lg\frac{5}{4}}$
=$\frac{lg2+lg3}{lg5-lg4}$
=$\frac{lg2+lg3}{1-3lg2}$
=$\frac{0.301+0.477}{1-3×0.301}$≈8；
∴估计大约8年后，旅游业的总收入超过8000万元．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．