Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为；(Ⅱ) .

【解析】

(Ⅰ)消去参数t得到直线的普通方程，利用，，可将曲线C的极坐标化为直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l的参数方程，代入曲线C中，利用参数t的几何意义即可求得a值.

（Ⅰ）将（为参数）消去参数可得，

∴直线的普通方程为.

由，得，

将，，代入上式，得，

即，

∴曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）将代入中，整理得，

设，两点对应参数分别为，，则，，

∵，∴，又，

∴，∴，

∴，即，

解得，符合题意.

∴.