Question

【题目】已知数列满足，且.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在实数，符合题意.

【解析】

（Ⅰ）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；

（Ⅱ）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.

（Ⅰ）因为，整理得，

由，代入得，.

（Ⅱ）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.

当时，，①

当时，，②

由①②解得：，.

下面用数学归纳法证明：

存在实数，，使对任意正整数恒成立.

（1）当时，结论显然成立.

（2）当时，假设存在，，使得成立，

那么，当时，

.

即当时，存在，，使得成立.

由（1）（2）得：

存在实数，，使对任意正整数恒成立.