Question

已知一列非零向量，n∈N^*，满足：=（10，-5），，（n³2 ）．，其中k是非零常数．
（1）求数列{||}是的通项公式；
（2）求向量与的夹角；（n≥2）；
（3）当k=时，把，，…，，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，，…，，…，令，O为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t_n，s_n），且，，则称点B（t，s）为点列的极限点．）

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得出=|k|，从而{||}是首项为5公比为|k|的等比数列．利用等比数列的通项公式即可求得
数列{||}是的通项公式；
（2）由向量的数量积公式得：=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）=k（x_n-1²+y_n-1²）=．
从而求得cos＜＞下面分两种情形：当k＞0时，当k＜0时，求得向量与的夹角即可；
（3）当k=时，由（2）知：4＜＞=p，由于每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，得到与向量共线的向量，记的单位向量为，利用条件求得，最后利用等比数列的求和公式结合数列的极限即可求得点列{B_n}的极限点B的坐标．
解答：解：（1）（2分）
=|k|=|k|||，（n≥2），
∴=|k|≠0，||=5．
∴{||}是首项为5公比为|k|的等比数列．
∴=5（|k|）^n-1（2分）
（2）=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）
=k（x_n-1²+y_n-1²）=．
∴cos＜＞==，（2分）
∴当k＞0时，＜＞=，
当k＜0时，＜＞=．（2分）
（3）当k=时，由（2）知：4＜＞=p，
∴每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，
∴与向量共线的向量为：{，}
={}，（2分）
记的单位向量为，则，
则=||=|a₁|（|k|）^n-1
==|a₁|（|k|）^4n-4（-1）^n-1
=（-4|k|⁴）^n-1=（10，-5）（-）^n-1（2分）
设，
则t_n=10[]=，
∴，．
∴点列{B_n}的极限点B的坐标为（8，-4）．（2分）
点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数量积表示两个向量的夹角、数列的极限等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．