题目内容

已知一列非零向量
an
满足：
a1
=(x1，y1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|
an
|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量
a
n-1与
a
n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设
a
1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）
分析：（I）由于|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
得出
|
an
|
|
a
n-1|
=
2
2
为常数，从而证得{|
an
|}是等比数列．
（II）利用向量的数量积得出
a
n-1•
a
n=(xn-1，yn-1)•
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)从而有：cos＜
a
n-1，
a
n＞=
a
n-1•
a
n
|
a
n-1||
a
n|
=
1
2
|
a
n-1|2
|
a
n-1|•
2
2
|
a
n-1|
=
2
2
，即可求得
a
n-1与
a
n的夹角；
（III）先利用数学归纳法易证
b
n=
a
4n-3成立从而得出：
b
n=(-
1
4
)n-1(x1，y1)．结合等比数列的求得公式及数列的极限即可求得点列{Bn}的极限点B的坐标．
解答：解：（I）|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=
2
2
•
x
2
n-1
+
y
2
n-1
=
2
2
|
a
n-1|，(n≥2)，首项|
a1
|=
x
2
1
+
y
2
1
≠0，
|
an
|
|
a
n-1|
=
2
2
为常数，∴{|
an
|}是等比数列．
（II）
a
n-1•
a
n=(xn-1，yn-1)•
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=
1
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)=
1
2
|
a
n-1|2，cos＜
a
n-1，
a
n＞=
a
n-1•
a
n
|
a
n-1||
a
n|
=
1
2
|
a
n-1|2
|
a
n-1|•
2
2
|
a
n-1|
=
2
2
，∴
a
n-1与
a
n的夹角为
π
4
．
（III）
a1
=(x1，y1)，
a2
=
1
2
(x1-y1，x1+y1)，
a3
=
1
4
(-2y1，2x1)=
1
2
(-y1，x1)，
a4
=
1
4
(-y1-x1，-y1+x1)，
a5
=
1
8
(-2x1，-2y1)=-
1
4
(x1，y1)，∴
a1
∥
a5
∥
a9
∥一般地，
b1
=
a1
，
b2
=
a5
，，
bn
=
a
4n-3，
用数学归纳法易证
b
n=
a
4n-3成立∴
b
n=(-
1
4
)n-1(x1，y1)．
设
OBn
=(tn，sn)则tn=[1+(-
1
4
)+(-
1
4
)2+…+(-
1
4
)n-1]x1=
1-(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)
=
4
5
[1-(-
1
4
)n]，
lim
n→∞
tn=
4
5
；
sn=[1+(-
1
4
)+(-
1
4
)2+…+(-
1
4
)n-1]y1=
1-(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)
•2=
8
5
[1-(-
1
4
)n]，
lim
n→∞
sn=
8
5
，
∴极限点B的坐标为(
4
5
，
8
5
)．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、数列的极限、向量的运算等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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已知一列非零向量
an
，n∈N*，满足：
a1
=（10，-5），
an
=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n32 ）．，其中k是非零常数．
（1）求数列{|
an
|}是的通项公式；
（2）求向量
an-1
与
an
的夹角；（n≥2）；
（3）当k=
1
2
时，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（tn，sn），且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B（t，s）为点列的极限点．）
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|}是等比数列；
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n-1与
a
n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设
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1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）
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，n∈N*，满足：
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（1）求数列{|
an
|}是的通项公式；
（2）求向量
an-1
与
an
的夹角；（n≥2）；
（3）当k=
1
2
时，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
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共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（tn，sn），且
lim
n→∞
tn=t，
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已知一列非零向量an满足:a1=(x1,y1),an=(xn,yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).

(1)证明{|an|}是等比数列;

(2)设θn=〈an-1,an〉,bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求Sn.

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