题目内容
已知一列非零向量
满足：
=(x1，y1)，
=(xn，yn)=
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|
|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量
n-1与
n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设
1=(1，2)，把
，
，…，
，…中所有与
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
，
，…，
，…，令
n=
+
+…+
，0为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
tn=t，
sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）
| an |
| a1 |
| an |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）证明：{|
| an |
（Ⅱ）求向量
| a |
| a |
（Ⅲ）设
| a |
| a1 |
| a2 |
| an |
| a1 |
| b1 |
| b2 |
| . |
| bn |
| OB |
| b1 |
| b2 |
| bn |
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
（I）|
|=
=
•
=
|
n-1|，(n≥2)，首项|
|=
≠0，
=
为常数，∴{|
|}是等比数列．
（II）
n-1•
n=(xn-1，yn-1)•
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=
(
+
)=
|
n-1|2，cos＜
n-1，
n＞=
=
=
，∴
n-1与
n的夹角为
．
（III）
=(x1，y1)，
=
(x1-y1，x1+y1)，
=
(-2y1，2x1)=
(-y1，x1)，
=
(-y1-x1，-y1+x1)，
=
(-2x1，-2y1)=-
(x1，y1)，∴
∥
∥
∥一般地，
=
，
=
，，
=
4n-3，
用数学归纳法易证
n=
4n-3成立∴
n=(-
)n-1(x1，y1)．
设
=(tn，sn)则tn=[1+(-
)+(-
)2+…+(-
)n-1]x1=
=
[1-(-
)n]，
tn=
；
sn=[1+(-
)+(-
)2+…+(-
)n-1]y1=
•2=
[1-(-
)n]，
sn=
，
∴极限点B的坐标为(
，
)．
| an |
| 1 |
| 2 |
| (xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2 |
=
| ||
| 2 |
|
| ||
| 2 |
| a |
| a1 |
|
|
| ||
|
|
| ||
| 2 |
| an |
（II）
| a |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x | 2n-1 |
| y | 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| a |
| a |
| ||||
|
|
| ||||||||
|
|
| ||
| 2 |
| a |
| a |
| π |
| 4 |
（III）
| a1 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
| a3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| a4 |
| 1 |
| 4 |
| a5 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| a1 |
| a5 |
| a9 |
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a5 |
| bn |
| a |
用数学归纳法易证
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
设
| OBn |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
1-(-
| ||
1-(-
|
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| lim |
| n→∞ |
| 4 |
| 5 |
sn=[1+(-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
1-(-
| ||
1-(-
|
| 8 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| lim |
| n→∞ |
| 8 |
| 5 |
∴极限点B的坐标为(
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
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(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).