Question

12．如图，直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M为AB的中点，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
（Ⅰ）求证：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角C-BD-M的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CM⊥AB，CM⊥AA₁，从而CM⊥平面ABB₁A₁，由此能证明平面CMD⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-BD-M的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，M为AB的中点，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
∴CM⊥AB，AA₁⊥平面ABC，CM?平面ABC，
∴CM⊥AA₁，
又AA₁∩AB=A，
∴CM⊥平面ABB₁A₁，
∵CM?平面CMD，∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC₁=4，则C（0，0，0），B（0，4，0），D（1，3，4），M（2，2，0），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，4），$\overrightarrow{BC}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{BM}$=（2，-2，0），
设平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x-y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
设平面BDM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=a-b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=2a-2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设二面角C-BD-M的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}•\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
$θ=arccos\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
∴二面角C-BD-M的大小为arccos$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．