Question

设函数，其中.

（1）若，求在的最小值；

（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer 1

解析：（1）由题意知，的定义域为，

时，由，得（舍去），

当时，，当时，，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以

（2）由题意在有两个不等实根，

即在有两个不等实根，

设，则，解之得；

（3）对于函数，

令函数,

则，

所以函数在上单调递增，又时，恒有

即恒成立.

取，则有恒成立.

显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立