题目内容
10．已知数列{bn}为等差数列，数列{an}为递增等比数列，${a}_{5}^{2}$=a10，且2（an+an+2）=5an+1，n∈N*，且b1=a3，b3=a4．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
分析 （1）利用递增等比数列的通项公式及性质，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；从而求出b1=a3=8，b3=a4=16，利用等差数列性质求出公差，由此能求出{bn}的通项公式．
（2）由cn=an•bn=（4n+4）•2n=（n+1）•2n+2，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和．
解答 解：（1）∵数列{an}为递增等比数列，${a}_{5}^{2}$=a10，且2（an+an+2）=5an+1，n∈N*，
∴（a1q4）2=a1q9，2（1+q2）=5q，
∵等比数列{an}为递增数列，
∴q=2，a1=2
∴an=2n．
∵数列{bn}为等差数列，b1=a3=8，b3=a4=16，
∴b3=8+2d=16，解得d=4，
∴bn=8+（n-1）×4=4n+4．
（2）∵cn=an•bn=（4n+4）•2n=（n+1）•2n+2，
∴数列{cn}的前n项和：
Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2，①
$2{S}_{n}=2•{2}^{4}+3•{2}^{5}+4•{2}^{6}+…+（n+1）•{2}^{n+3}$，②
①-②，得：-Sn=16+24+25+26+…+2n+2-（n+1）•2n+3
=16+$\frac{16（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2n+3
=-n•2n+3．
∴Sn=n•2n+3．
点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$+n | B． | $\frac{1}{2}$•32n+2+n+$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{3}^{2n+2}-1}{2}$-n | D． | $\frac{1}{2}$•32n+2-n+$\frac{3}{2}$ |