Question

2．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=4，b₃S₃=$\frac{15}{4}$．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足：c_n=（-1）ⁿ（a_n-2）b_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得c_n=（-1）ⁿ（a_n-2）b_n+1=（-1）ⁿ•（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ；运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
数列{b_n}的公比为q，由题意可得
$\left\{\begin{array}{l}{q（6+d）=4}\\{{q}^{2}（9+3d）=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{1}{2}}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{5}{6}}\\{d=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$（舍去），
即有a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；b_n=b₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）c_n=（-1）ⁿ（a_n-2）b_n+1=（-1）ⁿ•（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ；
前n项和T_n=1•（-$\frac{1}{2}$）+3•$\frac{1}{4}$+5•（-$\frac{1}{8}$）+…+（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
-$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+3•（-$\frac{1}{8}$）+5•$\frac{1}{16}$+…+（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{3}{2}$T_n=-$\frac{1}{2}$+2[$\frac{1}{4}$+（-$\frac{1}{8}$）+…+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$-（2n-1）•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得前n项和T_n=$\frac{6n+1}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．