Question

已知曲线

x=- 1 2 +3t y=1+4t

（t为参数）与曲线

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数）的交点为A，B，，则|AB|=

 

．

Answer 1

分析：把两曲线化为普通方程，分别得到直线与圆的方程，设出交点A与B的坐标，联立直线与圆的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，利用两点间的距离公式表示出|AB|，利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入即可求出值．

解答：解：把曲线

x=- 1 2 +3t y=1+4t

化为普通方程得：

x+ 1 2

3

=

y-1

4

，即4x-3y+5=0；
把曲线

x=2cosθ y=2sinθ

化为普通方程得：x²+y²=4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁-y₂=

4

3

（x₁-x₂），
联立得：

4x-3y+5=0① x2+y2=4②

，消去y得：25x²+40x-11=0，
∴x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=-

11

25

，
则|AB|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

25 9 (x1-x2) 2

=

5

3

(x1+x1) 2-4x1x2

=2

3

．
故答案为：2

3

点评：此题综合考查了直线与圆参数方程与普通方程的互化，直线与圆的综合，韦达定理及两点间的距离公式．此题难度比较大，要求学生熟练运用所学的知识解决数学问题．