Question

5．函数g（x）=log₂x（x＞$\frac{1}{2}$）关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，4-2$\sqrt{7}$）∪（4+2$\sqrt{7}$，+∞）
• B． （4-2$\sqrt{7}$，4+2$\sqrt{7}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$）
• D． （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由题意|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0在x＞$\frac{1}{2}$内有三个不同实数解可化为t²+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；从而分别讨论即可．

解答 ∵g（x）=log₂x在x＞$\frac{1}{2}$上单调递增，
∴g（x）＞-1，令t=|g（x）|
故|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0在x＞$\frac{1}{2}$内有三个不同实数解可化为
t²+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；
当若在（0，1），{0}上，则2m+3=0，则m=-$\frac{3}{2}$；
故t=0或t=$\frac{3}{2}$＞1，
不成立；
若在（0，1），{1}上，
则1+m+2m+3=0，
故m=-$\frac{4}{3}$；
故t²+mt+2m+3=0的解为t=$\frac{1}{3}$或t=1，成立；
若在（0，1），（1，+∞）上，
则△=m2-4（2m+3）＞0，
f（1）=2m+3+m+1＜0；
f（0）=2m+3＞0，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\frac{4}{3}$；
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$]；
故答案为D

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．