Question

已知函数f（x）满足：f（1）=

1

2

，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则

2010

i=0

 f（i）=（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：令x=1，y=0，可求得f（0）；再令y=1，可得f（x+1）=f（x）-f（x-1），f（x+2）=-f（x-1），从而可得函数f（x）是以6为周期的周期函数，分别求得f（i）（i=2，3，4，5，6）的值，利用其周期性即可求得

2010

i=0

 f（i）．

解答：解：令x=1，y=0，则2f（1）f（0）=f（1+0）+f（1-0）=2f（1），
所以f（0）=1．
令y=1，得f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1），
由此得f（x+2）=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
以x+1代替x，得f（x+3）=-f（x），由此可得f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
即函数f（x）是以6为周期的周期函数，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），
得f（2）=f（1）-f（0）=-

1

2

，
f（3）=f（2）-f（1）=-

1

2

-

1

2

=-1，
f（4）=f（3）-f（2）=-1+

1

2

=-

1

2

，
f（5）=f（4）-f（3）=-

1

2

+1=

1

2

，
f（6）=f（5）-f（4）=

1

2

-（-

1

2

）=1，
即一个周期内的整点函数值是

1

2

，-

1

2

，-1，-

1

2

，

1

2

，1，其和为0，
又2010=6×335，
故

2010

i=0

 f（i）=f（0）+

2010

i=1

f（i）=1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的应用，求得函数f（x）是以6为周期的周期函数是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．