题目内容
某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|
sin
x+
-a|+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[
，
]．若将每天中f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（Ⅰ）令t=
sin
x，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数M（a）的解析式；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？
| 1 |
| 2 |
| π |
| 32 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）令t=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 32 |
（Ⅱ）求函数M（a）的解析式；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？
分析：（I）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
，它小于2，即可得出结论．
（Ⅱ）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
| 23 |
| 12 |
解答：解：（Ⅰ）因为x∈[0，24]，所以
∈[0，
]，所以sin(
)∈[0，1]，故t∈[0，
]．
（Ⅱ）因为a∈[
，
]，所以0≤a-
≤
＜
，
所以f(t)=|t-(a-
)|+2a=
．
当t∈[0，a-
]时，f(t)max=f(0)=3a-
；
当t∈[a-
，
]，f(t)max=f(
)=
+a．
而f(0)-f(
)=2a-
，
当
≤a≤
，f(0)≤f(
)，M(a)=f(
)=
+a；
当
＜a≤
，f(0)＞f(
)，M(a)=f(0)=3a-
．
所以M(a)=
，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标．
| πx |
| 32 |
| 3π |
| 4 |
| πx |
| 32 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）因为a∈[
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
所以f(t)=|t-(a-
| 1 |
| 3 |
|
当t∈[0，a-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当t∈[a-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
而f(0)-f(
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 6 |
当
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
当
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
所以M(a)=
|
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
| 23 |
| 12 |
点评：本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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与时间x(小时)的关系为
｜＋2a，
，其中a为与气象有关的参数，且
．若将每天中
，
，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且
，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
，求t的取值范围；
，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且
，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
，求t的取值范围；