Question

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令，求t的取值范围；
（2）求函数M（a）；
（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

Answer 1

【答案】分析：（1）先对所给函数式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范围即可；
（2）令．下面分类讨论：当，当，分别求出函数g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函数分析知，当时，M（a）是增函数；当时，M（a）是增函数，从而求得它的最大值即可解决问题．
解答：解：（1）∵，x=0时，t=0.0＜x≤24时，
，∴．∴．（4分）
（2）令．
当，即时，；
当，即时，．
所以（10分）
（3）当时，M（a）是增函数，；
当时，M（a）是增函数，．
综上所述，市中心污染指数是，没有超标．（15分）
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．