Question

4．已知在等比数列{a_n}中，a_n+1＞a_n，对n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式（
Ⅱ）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}+\frac{3{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
（II）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，a_n+1＞a_n，对n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
∴a₂a₃=8，联立解得a₂=2，a₃=4．
∴q=2．
∴a_n=2×2^n-2=2^n-1．
（II）∵数列{b_n}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}+\frac{3{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=1，解得b₁=1．
n≥2时，$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n-（n-1）=1，
∴b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1．
2S_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．