Question

13．已知${\overrightarrow e_1}，{\overrightarrow e_2}$是空间单位向量，${\overrightarrow e_1}•{\overrightarrow e_2}=\frac{1}{2}$，若空间向量$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow b•{\overrightarrow e_1}=2，\overrightarrow b•{\overrightarrow e_2}=\frac{5}{2}$，且对于任意x，y∈R，$|{\overrightarrow b-（x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}）}|≥|{\overrightarrow b-（{x_0}\overrightarrow{e_1}+{y_0}\overrightarrow{e_2}）}|$=1（x₀，y₀∈R），则x₀=1，y₀=2，$|{\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意和数量积的运算可得＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{π}{3}$，不妨设$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0，0），由已知可解$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），可得|$\overrightarrow{b}$-（$x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=（x+$\frac{y-4}{2}$）²+$\frac{3}{4}$（y-2）²+t²，由题意可得当x=x₀=1，y=y₀=2时，（x+$\frac{y-4}{2}$）²+$\frac{3}{4}$（y-2）²+t²取最小值1，由模长公式可得$|{\overrightarrow b}|$．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{π}{3}$，不妨设$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=（m，n，t），
则由题意可知$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{{e}_{1}}$=$\frac{1}{2}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$n=2，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=m=$\frac{5}{2}$，解得m=$\frac{5}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），
∵$\overrightarrow{b}$-（$x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$x-y，$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$，t），
∴|$\overrightarrow{b}$-（$x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$x-y）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$）²+t²
=x²+xy+y²-4x-5y+t²+7=（x+$\frac{y-4}{2}$）²+$\frac{3}{4}$（y-2）²+t²，
由题意当x=x₀=1，y=y₀=2时，（x+$\frac{y-4}{2}$）²+$\frac{3}{4}$（y-2）²+t²取最小值1，
此时t²=1，故$|{\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{t}^{2}}$=2$\sqrt{2}$
故答案为：1；2；2$\sqrt{2}$

点评 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．