Question

如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点.
求证：（1）E，C，D₁，F四点共面；
（2）CE，D₁F，DA三线共点.

Answer 1

证明略

（1）如图所示，连接CD₁，EF，A₁B，

∵E、F分别是AB和AA₁的中点，
∴EF∥A₁B且EF=A₁B，
又∵A₁D₁   BC,
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴A₁B∥CD₁，∴EF∥CD₁，
∴EF与CD₁确定一个平面，
∴E，F，C，D₁∈，
即E，C，D₁，F四点共面.
（2）由（1）知EF∥CD₁，且EF=CD₁，
∴四边形CD₁FE是梯形，
∴CE与D₁F必相交，设交点为P，
则P∈CE平面ABCD，
且P∈D₁F平面A₁ADD₁，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A₁ADD₁.
又平面ABCD∩平面A₁ADD₁=AD，
∴P∈AD，∴CE，D₁F，DA三线共点.