题目内容
【题目】如图，半圆
是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从公路
上某点
起修建游览线路
，
、
、
分别与半圆相切，且四边形
是等腰梯形．已知半圆半径
百米，每修建1百米游览道路需要费用为20万元，设与圆的切点为
，
（单位：弧度）．
（1）试将修建游览道路所需费用
表示为
的函数；
（2）试求修建游览道路所需最少费用为多少万元？（精确到0.1，参考数据：
）
【答案】（1）
，
．（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．
【解析】
中，
，所以
，
由题意可求得
，
，代入
即可求出函数解析式；
换元，设
，则
，
，根据导数求函数的最值．
（1）
中，
，所以
，
设
与半圆相切于点
，
则由四边形
是等腰梯形知，
，且
，
，
中，
，
所以
，
所以
即，．
（2）设
，则
，
，
因为
，，令
，解得
．
列表如下：
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
从上表可知，当，即
时，
取得极小值，这个极小值就是函数的最小值，值为
万元．
答：（1）修建游览道路所需费用
表示为
的函数为，．
（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．
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