题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
先利用线面垂直的性质证明直线平面
,以点
为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正向建立空间直角坐标系,(1)可得
是平面
的一个法向量,求得
,利用
,且直线
平面
可得结果;(2)利用向量垂直数量积为0,列方程组分别求出平面
与平面
的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果;(3)设
,则
,
,
由,可得
, 解方程可得结果.
(1)平面
平面
,
平面平面
,
,
,
直线
平面
.
由题意,以点为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正向建立如图空间直角坐标系,
则可得:,
.
依题意,易证:是平面
的一个法向量,
又,
,
又直线
平面
,
.
(2)
.
设为平面
的法向量,
则,即
.
不妨设,可得
.
设为平面
的法向量,
又
,
则,即
.
不妨设,可得
,
,
又二面角为钝二面角,
二面角
的大小为
.
(3)设,则
,又
,
又,即
,
,解得
或
(舍去).
故所求线段的长为
.
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