题目内容
【题目】已知函数在
处取得极值.
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若,函数
,若存在
、
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由可得出
,令
得出
,
,然后讨论
与
的大小关系,结合导数可得出函数
的单调增区间和减区间;
(2)利用导数求得函数在区间
上的最大值为
,利用二次函数的基本性质得出函数
在区间
上的最小值为
,由此可得出
,进而可解得实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
,
由题意可知,,则
,
,
令,则
,
.
因为是函数
的极值点,所以
,即
.
①当时,即当
时,解不等式
,得
或
;解不等式
,解得
.
此时,函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
②当时,即当
时,解不等式
,得
或
;解不等式
,解得
.
此时,函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.
综上所述,当时,函数
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
(2)当时,函数
在
上为增函数,在
为减函数,
所以,函数的最大值为
,
因为函数在
上是单调递增函数,
所以,函数的最小值为
,
所以,在
上恒成立.
要使存在、
,使得
成立,
只需要,即
,所以
.
又因为,所以实数
的取值范围是
.
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