Question

20.已知数列｛a_n｝是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项和，a₁、2a₇、3a₄成等差数列.

（Ⅰ）证明：12S₃、S₆、S₁₂－S₆成等比数列；

（Ⅱ）求和：T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n－2.

Answer 1

20.（Ⅰ）证明:由a₁、2a₇、3a₄成等差数列.

得4a₇=a₁+3a₄，即4aq⁶=a+3aq³.

变形得（4q³+1）（q³－1）=0，所以q³=－或q³=1（舍去）.

由===，

=－1=－1=1+q⁶－1=q⁶=，

得=.

所以12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列.

（Ⅱ）解　T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n－2

=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n－1）,

即T_n=a+2·（－）a+3·（－）²a+…+n·（－）^n－1a.             ①

①×（－）得

－T_n=－a+2·（－）²a+3·（－）³a+…+n·（－）ⁿa.    ②

①－②有：T_n=a+(－) a+(－)²a+(－)³a+…+(－)^n－1a－n·(－)ⁿa

=－n·（－）ⁿa

=a－（+n）·（－）ⁿa.

所以T_n=a－（+n）·（－）ⁿa.