Question

【题目】已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】

(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．

（1）解：∵点在椭圆上，∴，

又∵离心率为，∴，∴，

∴，解得，，

∴椭圆方程为．

（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，

联立，得，

设，，则，，

∴，

由中点坐标公式得，

将的坐标中的用代换，得的中点，

∴直线的方程为，，

令得，∴直线经过定点，

当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．

当时，过定点．