Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，与都是等边三角形.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点为，连接，根据与都是等边三角形且有公共边，又，得到，再由，得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理证明.

（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，取分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面一个法向量，由二面角的向量公式求解.

（1）如图所示：

设的中点为，连接，

因为与都是等边三角形且有公共边，又，

所以，所以.

在等腰直角三角形中，易知，

又，所以，

所以，所以.

又，平面，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，取分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，

则，，，.

设平面一个法向量为，

又，，

所以，取，得.

设平面的一个法向量为，

又，，

所以，取，得.

所以.

设二面角的大小为，

所以.