Question

【题目】如图所示，椭圆的离心率为，过点作直线交椭圆于不同两点，．

（1）求椭园的方程；

（2）①设直线的斜率为，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程（用表示）；

②若，为椭圆上的动点，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】

（1）由求出即可

（2）①设切线方程为，然后与椭圆的方程联立消元，利用得出即可

②要使得四边形的面积最大，需满足，两点到直线的距离之和最大，即两条切线间的距离最大，然后算出弦长，然后可得四边形的面积，即可得出答案.

（1）椭圆中，

，，

椭圆的离心率为，解得，

椭圆的方程为．

（2）①设切线方程为，

代入，可得，

由，可得，故切线方程为．

②要使得四边形的面积最大，需满足，两点到直线的距离之和最大，

即两条切线间的距离最大．

设，，直线的方程为，

联立整理得，

则，，

故，

故四边形的面积

，

当且仅当，且，或，时等号成立．

故所求最大值为．