题目内容

已知向量，，，2cosα），，
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．
【答案】分析：（1）由题意可得，=sinα-cosα=，平方可求sinα-cosα，sin2α，进而可求sinα+cosα，从而可求sinα
（2）由题意可得f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x=4sin（2x+）+1，结合可求函数的最大值，要使得函数y=f（x）单调递增，则
结合可求
解答：解：（1）∵=sinα-cosα=
∴（sinα-cosα）2=1-2inαcosα=1-sin2α=
∴sin2α=（2分）
∵（sinα+cosα）2=1+sin2α=
∴
∴（5分）
（2）∵f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x
=5（cos2xcosα+sin2xsinα）+cos2x+1
=5（）+cos2x+1
=4cos2x+4sin2x+1
=4sin（2x+）+1（8分）
∵
∴
当时，=（10分）
要使得函数y=f（x）单调递增
∴
∴（k∈Z）
∵
∴y=f（x）的单调递增区间为[]（12分）
点评：本题主要考查了向量的数量积的基本运算，三角函数的二倍角公式、赋值角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的单调区间的求解，属于向量与三角的综合应用．
练习册系列答案
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已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
a
=(sinθ，2cosθ)，(θ∈R)．
（1）若
b
=(1，-1)，且
a
⊥
b
，求tanθ的值；
（2）若
c
=(cosθ，2sinθ)，求|
a
+
c
|的最大值．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
已知向量=（sinθ，2cosθ），=（）
（Ⅰ）当θ∈[0，π]时，求函数f（θ）=×的值域；
（Ⅱ）若∥，求sin2θ的值．

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